# 第二章 数据处理与可视化

# 习题 2.8

在同一个图形界面中分别画出 6 条曲线

$$y=kx^2\sin(x)+2k+\cos\left(x^3\right),k=1,2,\dots,6.$$

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-10 * np.pi, 10 * np.pi, 10000)

k = range(1, 7)

plt.rc('font', size=16)

plt.rc('text', usetex=True)

plt.title('$y=kx^2sin(x)+2k+cos(x^3)$')

for i in k:

    y = i * x ** 2 * np.sin(x) + 2 * i + np.cos(x ** 3)

    plt.plot(x, y, label='k={}'.format(i))

plt.legend()

plt.show()

# 习题 2.9

把屏幕开成 2 行 3 列 6 个子窗口，每个子窗口画一条曲线，画出曲线

$$y=kx^2\sin(x)+2k+\cos\left(x^3\right),k=1,2,\dots,6.$$

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-10 * np.pi, 10 * np.pi, 10000)

k = range(1, 7)

for i in k:

    ax = plt.subplot(2, 3, i)

    y = i * x ** 2 * np.sin(x) + 2 * i + np.cos(x ** 3)

    ax.plot(x,y,'r',label='k={}'.format(i))

    plt.legend()

plt.show()

# 习题 2.10

分别画出下列二次曲面

1. 单叶双曲面 $\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{10}-\dfrac{z^2}{6}=1$
2. 双叶双曲面 $\dfrac{x^2}{8}-\dfrac{y^2}{12}-\dfrac{z^2}{8}=1$
3. 椭圆抛物面 $\dfrac{x^2}{10}+\dfrac{y^2}{6}=z$

from sympy.plotting import plot3d

from sympy.abc import x, y

from sympy.functions import sqrt

plot3d(sqrt(6 / 8 * x ** 2 + 6 / 10 * y ** 2 - 6), (x, -10, 10), (y, -10, 10))

from sympy.plotting import plot3d

from sympy.abc import x, y

from sympy.functions import sqrt

plot3d(sqrt(x ** 2 - 8 / 12 * y ** 2 - 8), (x, -10, 10), (y, -10, 10))

from sympy.plotting import plot3d

from sympy.abc import x, y

plot3d(x ** 2 / 10 + y ** 2 / 6, (x, -10, 10), (y, -10, 10))

# 习题 2.11

默比乌斯带是一种拓扑学结构，它只有一个面和一个边界，是 1858 年由德国数学家、天文学家默比乌斯和约翰・李斯丁独立发现的．其参数方程为

$$\begin{dcases} x=\left(2+\dfrac{s}{2}\cos\dfrac{t}{2}\right)\cos t, \\ y=\left(2+\dfrac{s}{2}\cos\dfrac{t}{2}\right)\sin t, \\ z=\dfrac{s}{2}\sin\dfrac{t}{2} \end{dcases}$$

其中，$0\le t\le 2\pi,-1\le s\le1$．绘制默比乌斯带．

import matplotlib.pyplot as plt

import numpy as np

ax = plt.axes(projection='3d')

t = np.linspace(0, 2 * np.pi, 1000)

s = np.linspace(-1, 1, 1000)

S, T = np.meshgrid(s, t)

X = (2 + S / 2 * np.cos(T / 2)) * np.cos(T)

Y = (2 + S / 2 * np.cos(T / 2)) * np.sin(T)

Z = S / 2 * np.sin(T / 2)

ax.plot_surface(X, Y, Z, cmap='viridis')

plt.show()

# 第三章 Python 数学应用

# 习题 3.6

求解下列线性方程组

$$\begin{dcases} x_1+2x_2+x_3-x_4=0 \\ 3x_1+6x_2-x_3-3x_4=0 \\ 5x_1+10x_2+x_3-5x_4=0 \end{dcases}$$

$$\begin{dcases} 2x+y-z+w=1 \\ 4x+2y-2z+w=2 \\ 2x+y-z-w=1 \end{dcases}$$

import sympy as sp

def solve(A, b):

    if b == sp.zeros(b.shape[0], b.shape[1]):  # 齐次方程

        print("基础解系为：", A.nullspace())

    else:  # 非齐次方程

        n = A.shape[1]  # 未知数个数

        C = A.row_join(b)  # 构造增广矩阵

        c = C.rref()[1]  # 主元列

        C = C.rref()[0]

        print("通解为：")

        k = 1

        for i in range(n):

            if i not in c:

                M = C[0:len(c), i]

                M = -M

                t = sp.zeros(n - len(c), 1)

                t[k - 1] += 1

                for j in range(len(c)):

                    t = t.row_insert(c[j], M.row(j))

                print('c' + str(k) + ' *', t, '+ ', end='')

                k += 1

        M = C[0:len(c), -1]

        t = sp.zeros(n - len(c), 1)

        for j in range(len(c)):

            t = t.row_insert(c[j], M.row(j))

        print(t)

if __name__ == '__main__':

    A1 = sp.Matrix([[1, 2, 1, -1], [3, 6, -1, -3], [5, 10, 1, -5]])

    b1 = sp.Matrix([0, 0, 0])

    b1.transpose()

    A2 = sp.Matrix([[2, 1, -1, 1], [4, 2, -2, 1], [2, 1, -1, -1]])

    b2 = sp.Matrix([1, 2, 1])

    solve(A1, b1)

    solve(A2, b2)

# 习题 3.7

先判断下列线性方程组解的情况，然后求对应的唯一解、最小二乘解或最小范数解

$$\begin{dcases} 4x_1+2x_2-x_3=2 \\ 3x_1-x_2+2x_3=10 \\ 11x_1+3x_2=8 \end{dcases}$$

$$\begin{dcases} 2x+3y+z=4 \\ x-2y+4z=-5 \\ 3x+8y-2z=13 \\ 4x-y+9z=-6 \end{dcases}$$

import numpy as np

import numpy.linalg as LA

def solve(A, b):

    RA = LA.matrix_rank(A)

    C = np.append(A, b, axis=1)  # 增广阵

    # print(C)

    RAb = LA.matrix_rank(C)

    if RA < RAb:

        print("无解，最小二乘解为：", LA.pinv(A).dot(b))

    elif RA == A.shape[1]:

        print("有唯一解：", LA.solve(A, b))

    else:

        print("有多解，最小范数解为：", LA.pinv(A).dot(b))

if __name__ == '__main__':

    A1 = np.array([[4, 2, -1], [3, -1, 2], [11, 3, 0]])

    b1 = np.array([[2, 10, 8]])

    b1 = b1.reshape(3, 1)

    A2 = np.array([[2, 3, 1], [1, -2, 4], [3, 8, -2], [4, -1, 9]])

    b2 = np.array([[4, -5, 13, -6]])

    b2 = b2.reshape(4, 1)

    solve(A1, b1)

    solve(A2, b2)

# 第四章 概率论与数理统计

# 习题 4.1

一家工厂生产的某种元件的寿命 X（以 h 计）服从均值$\mu = 160$，标准差$\sigma (\sigma >0)$ 的正态分布，若要求$P\{120<X\le200\}\ge0.80$，允许$\sigma$ 最大为多少？

from scipy.stats import norm

from scipy.optimize import fsolve

f = lambda sigma: norm.cdf(200, 160, sigma) - norm.cdf(120, 160, sigma) - 0.8

print("sigma=", fsolve(f, 10))

# 附：Windows 系统 Python 数学建模环境安装

# 安装 PyCharm

安装 PyCharm Professional 或者先安装 Toolbox
谁能拒绝 JetBrains 啊快跟我一起下 Toolbox

# 安装 Toolbox

Windows 系统从 Toolbox 官网下载 exe 安装包并安装

# 修改 Toolbox 默认安装路径

当前时间下从 Toolbox 的设置中，发现下载路径是只读不可修改
在路径 C:\Users\用户名\AppData\Local\JetBrains\Toolbox 下修改 .settings.json 文件增加安装路径：

"install_location": "E:\\JetBrains",

{

"install_location": "E:\\JetBrains",

"channel_rollback_max_history": 1,

"shell_scripts": {

"location": "C:\\Users\\用户名\\AppData\\Local\\JetBrains\\Toolbox\\scripts"

},

"ui": {

"language": "zh-CN"

},

"tools": {

"localize_tools": true

},

"update": {

"install_automatically": false

}

}

设置完成后，直接从 Toolbox 安装 PyCharm Professional

# 激活诀窍

# 安装 conda

节省内存，可安装 miniconda ，下载 Python 3.10 版本的最新版

安装完成后，选择 miniconda3 文件夹属性，在安全标签中给当前用户完全控制权
（此步骤便于将虚拟环境置于 miniconda3 文件夹内部，若跳过此步骤将导致只能通过管理员权限新建虚拟环境）

# 配置环境

若 C 盘空间紧张，可打开 Anaconda Powershell Prompt(miniconda3) 程序，运行 conda info
查看 package cache 和 envs directories 的默认目录是否在 C 盘
如需修改此目录，可新建或修改用户目录下的 .condarc 文件，例如：

envs_dirs:

  - E:\miniconda3\envs

pkgs_dirs:

  - E:\miniconda3\pkgs

可使用 PyCharm 新建 conda 环境：

安装 Python 包，可直接在 PyCharm 中打开终端，例如安装 numpy：

conda install numpy